Cosmograve

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Modèles d'univers de Friedmann-Lemaître


Modèle Λ-CDM

Les modèles d'Univers de Friedmann-Lemaître répondent au principe cosmologique et à la relativité générale. Le principe cosmologique postule qu'à un instant donné, toutes les observables ont la même mesure en tout point et dans toutes directions. Autrement dit, l'univers est homogène et isotrope. La relativité générale est une théorie géométrique relativiste de la gravitation (TGRG) c'est-à-dire une théorie qui relie la géométrie du contenant espace-temps à son contenu matière-énergie et qui, localement, rejoint la relativité restreinte.

Dans une TGRG la symétrie du contenu doit donc se retrouver dans le contenant. On montre que la métrique d'espace-temps la plus générale répondant à une TGRG et au principe cosmologique est celle de Robertson Walker (RW) ou Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker (FLRW). On appelle métrique le carré ds2 de l'élément de longueur spatio-temporelle. Celui de RW a pour expression :

$$ds^{2}=-R^{2}(t)\left[ \frac{dr^{2}}{1-kr^{2}}+rd\theta^{2}+r^{2}sin^{2}\theta d\phi^{2} \right]+c^{2}dt^{2}$$

k = -1, 0 ou +1 selon les trois possibilités pour la courbure spatiale (3D) de l'espace : négative, nulle ou positive et r est la coordonnée radiale.

R(t) est la seule inconnue en dehors de k.

La fonction R(t) est le " facteur d'échelle " qui multiplie la distance entre points fixes de l'espace. Le temps cosmique t est le même partout (sources et observateur étantt supposés immobiles et donc dans le même référentiel).

En suivant la trajectoire d'un photon (ds=0) on en déduit que si une source émet deux signaux lumineux aux temps te et te+dte , un observateur les recevra aux temps t0 et t0+dt0 avec

$$\frac{dt_{0}}{dt_{e}}=\frac{R(t_{0})}{R(t_{e})}$$

Appliqué aux périodes $T$ ou longueurs d'onde $\lambda$ de la lumière cela s'écrit

$$\frac{T_{0}}{T_{e}}=\frac{\lambda_{0}}{\lambda_{e}}=1+z=\frac{R(t_{0})}{R(t_{e})}$$

L'équation différentielle complète (1917) de la relativité générale d'Einstein s'écrit:

$$\frac{1}{2}g_{\mu \nu}R-R_{\mu \nu} - \Lambda g_{\mu \nu} = \frac{8\pi G}{c^{4}}T_{\mu \nu}$$

Si la TGRG est la relativité générale, en introduisant les coefficients (g$\mu \nu$) de dr2, d$\theta$2, dφ2 et dt2 de la métrique RW dans l'équation d'Einstein elles se transforme en 2 équations différentielles (les équations de Friedmann-Lemaître, FL1 et FL2) sur le facteur d'échelle R(t) dans lesquelles p(t) et $\rho$(t) (pression et masse volumique) sont les deux seuls paramètres physiques décrivant le contenu : p et $\rho$ sont spatialement homogènes (pas fonction de r,$\theta$ ou φ ) et isotropiques (scalaires) d'après le principe cosmologique.

$$ \frac{k}{R^{2}}+\frac{\dot{R}^{2}}{c^{2}R^{2}} - \frac{\Lambda}{3}=\frac{8\pi G \rho}{3c^{2}}$$ $$-\frac{k}{R^{2}} -\frac{\dot{R^{2}}}{c^{2}R^{2}}-\frac{2\ddot{R}}{Rc^{2}}+\Lambda=\frac{8 \pi G p}{c^{4}}$$

On en déduit FL3

$$\frac{d(\rho R^{3})}{dR} + 3p\frac{R^{2}}{c^{2}} = 0$$

FL2 peut s'écrire :

$$\dot{R^{2}} = H_{0}^{2}R_{0}^{2}\left[ \Omega_{r0} \frac{R_{0}^{2}}{R^{2}} + \Omega_{m0} \frac{R_{0}}{R} +\Omega_{\Lambda 0} \frac{R^{2}}{R_{0}^{2}}+\Omega_{k0} \right]$$

avec :

$$ \Omega_{m}(t)=\frac{8\pi G \rho_{m}(t)}{3H^{2}(t)},\Omega_{r}(t)=\frac{8\pi G \rho_{r}(t)}{3H^{2}(t)},\Omega_{\Lambda}(t)=\frac{\Lambda c^{2}}{3H^{2}(t)},\Omega_{k}(t)=\frac{kc^{2}}{R^{2}(t)H^{2}(t)}$$

    G est la constante de gravitation universelle.

   $\Omega$r(t) est le paramètre de densité de rayonnement. Sa valeur présente $\Omega$r0 est la mieux connue car la densité d'énergie lumineuse est essentillement celle du rayonement de fond cosmologique (RFC). On peut vraisemblablement lui rajouter celle des neutrinos primordiaux non encore détectés et qui dans l'hypothèse la plus simple ont une densité d'énergie égale à 68% de celle du RFC.

    $\Omega$m(t) est le paramètre de densité (totale) de matière (sombre et non baryonique comprise)

    $\Omega$$\Lambda$(t) est le paramètre de densité de $\Lambda$. On l'appelle aussi constante cosmologique réduite (mais ce n'est généralement pas une constante). $\Omega$$\Lambda$ dépend de la constante cosmologique $\Lambda$ introduite en 1917 par Einstein dans ses équations pour rendre la relativité générale compatible à son modèle d'univers statique.

    $\Omega$k(t) est le paramètre de densité de courbure ou courbure réduite. Elle dépend de k, qui représente la courbure de l'univers. Si k = 1, l'espace (3D) est hyper-sphérique; si k = 0, il est euclidien (dans ce cas  $\Omega$k(t) = 0 ∀ t) et, si k = -1, [hyper] hyperbolique.

    Les paramètres de densité $\Omega$i(t) sont sans dimension et la deuxième équation de Friedmann-Lemmaître implique: $${\bf \Omega_m (t) + \Omega_r (t) + \Omega_{\Lambda} (t) + \Omega_k (t) = 1 ~~~~\forall t}$$. Il suffit donc d'en mesurer trois à un instant donné pour déterminer le quatrième. Comme aujourd'hui $\Omega$r0 est bien connu et, de plus, inférieur à 10-4, la connaissance de notre modèle d'univers est essentiellemnt liée aux mesures de $\Omega$m0 et $\Omega$$\Lambda$0 .

   Dans la partie simulation ce sont ainsi les valeurs de $\Omega$m0 et $\Omega$$\Lambda$0 qui sont laissées au choix (avec par défaut celles du modèle $\Lambda$-CDM des résultats 2015 de la mission Planck de l'ESA). Pour $\Omega$r0, le RFC ayant un spectre thermique de corps noir, c'est la température T0 qui est à choisir. Une option permet également de choisir $\Omega$k=0

    La masse volumique $\rho$r ($\rho$r = ur/c2 avec ur la densité d'énergie) d'un rayonnement de corps noir est liée à sa seule température :

$$\rho_{r}=\frac{4\sigma T^{4}}{c^{3}}$$ avec $\sigma = \frac{2\pi^{5} k^{4}}{15h^{3}c^{2}}$

    Par défaut les constantes fondamentales ont les valeurs suivantes (mais elles restent modifiables au choix dans les simulations: dans l'hypothèse multivers elles pourraient effectivement être différentes) :

   

    H(t) est le taux d'expansion, dérivée logarithmique du facteur d'échelle. H0 est sa valeur présente. Sa dimension est l'inverse d'un temps. Pour des raisons historiques de méthode de mesure on l'exprime souvent en en km/s/Mpc.

    De manière générale, H(t) est donc défini comme :

$$H(t)=\frac{\dot{R}(t)}{R(t)}$$

    Pour faciliter la résolution de l'équation différentielle, nous utilisons de préférence les coordonnées réduites a = R / R0 et τ = H0(t - t0). Avec ce changement de variables, on obtient l'équation suivante :

$$\frac{d^{2}a}{d\tau^{2}}=-\frac{\Omega_{r0}}{a^{3}}-\frac{1}{2} \frac{\Omega_{m0}}{a^{2}} + \Omega_{\Lambda 0}a$$

    Les conditions initiales de cette équation nous sont données :

$$ a(0)=\frac{da}{d\tau}(0)=1$$

Ainsi les données H0,$\Omega$m0, $\Omega$r0 et $\Omega$$\Lambda$0 permetent de résoudre l'équation différentielle ci dessus et donc de connaitre a(t) pour tout t nous permetant alors de le tracer sur un graphique (voir partie simulation).

    Selon les valeurs des $\Omega$i choisies, nous obtenons des modèles différents avecc ou sans singularité:

    Les séparatrices de ces types d'univers dans le plan ($\Omega$m0, $\Omega$$\Lambda$0) sont indiqués sur la figure de gauche (interactive) de la simulation.

   En suivant la trajectoire des photons on démontre par ailleurs les relations qui sont utilisées dans cosmograve (notamment dans la boite à outils "Calcus annexes"). On rappelle ci-dessous ces expressions sans les démontrer.

    La fonction E(x) simplifie beaucoup de calculs cosmologiques. Elle est définie arbitrairement par :

$$ E(x)=\Omega_{r0}(1+x)^{4} + \Omega_{m0}(1+x)^{3} - (\Omega_{r0} + \Omega_{m0} + \Omega_{\Lambda 0} -1)(1+x)^{2} + \Omega_{\Lambda 0}$$

  On montre alors :

$$ t_{2}-t_{1}=\frac{1}{H_{0}} \int_{z_{2}}^{z_{1}} (1+x)^{-1}E^{-\frac{1}{2}}(x)dx$$

    Dans le cas d'un univers avec Big-Bang, l'âge de l'univers (la durée depuis le Big Bang) est le résultat de l'intégrale suivante :

$$ t_{0}=\frac{1}{H_{0}}\int_{0}^{+\infty} (1+x)^{-1} E^{-\frac{1}{2}}(x)dx$$

Ces 2 intégrales nous permetent donc de calculer les temps associés connaissant z1 et z2 (Voir partie Calculs Annexes)

 La distance métrique ("comoving distance"), notée dm, tient une place importante dans les relations entre les observables géométriques (ex : diamètres apparents), photométriques (ex : luminances) et temporelles (ex : décalages spectraux).
On obtient l'expression exacte de cette distance métrique en "intégrant" la trajectoire d'un photon depuis son émission à l'instant te et à la coordonnée r jusqu'à sa réception à l'instant to en r=0 avec un décalage spectral cosmologique zc.
L'expression générale de la distance métrique dm est :

$$ d_{m}=\frac{c}{H_{0}|\Omega_{k0}|^{\frac{1}{2}}}S_{k} \left \{ |\Omega_{k0}|^{\frac{1}{2}} \int_{0}^{z} E^{-\frac{1}{2}}(x)dx \right \}$$

avec selon la courbure spatiale :

$$ \begin{align} S_{k}(x)= \begin{cases} sinh(x)~\text{Si k=-1} \\ x~~~~~~~~~~~~\text{Si k=0}\\ sin(x)~~~\text{Si k=1}\\ \end{cases} \end{align}$$

 La mesure classique (espace statique et euclidien) des distances par photométrie se fait en utilisant E, l'éclat (éclairement sur une surface orthogonale à la source) et L, la luminosité. d est la distance entre la source et la surface.
Si la source est isotrope et qu'il y a conservation du flux lumineux, on a la relation suivante :

$$E=\frac{L}{4\pi d^{2}}$$

 Avec un facteur d'échelle de l'espace R(t) qui varie durant le parcours de la lumière, la relation observationnelle fondamentale écrite ci-dessus n'est plus valide. Elle dépend des caractéristiques de l'univers et donc des "paramètres de densité", du taux d'expansion et du décalage spectral zc de la source (c'est-à dire de toute l'histoire de la géométrie de l'espace parcouru)

On convient d'appeller "distance luminosité" dL celle qui préserve l'expression classique. On montre qu'elle s'écrit :

$$ d_{L}=d_{m}(1+z)$$

L'expressions de l' éclairement en FLRW est alors:

$$ E=\frac{L}{4\pi d_{L}^{2}}$$

 Un autre relation utile est celle entre diamètres linéaire et apparent (angulaire). Dans un cadre classique, en observant un objet fixe de diamètre linéaireD depuis un point éloigné d'une distance d, l'angle $\theta$ sous lequel est observé l'objet peut être écrit (d>>D) :

Selon le même raisonnement que pour la "distance luminosité", on montre qu'en FLRW la "distance diamètre apparent" dA s'écrit :

$$d_{A}=\frac{d_{m}}{1+z}$$

En FLRW, l'angle $\theta$0 sous lequel est observé (aujourd'hui) l'objet de diamètre De (au moment de l'émission mais De = cte pour des standards de longueur) s'écrit :

$$\Theta=\frac{D}{d_{A}}$$

On définit aussi la "distance temps-lumière" séparant un objet 1 et un objet 2, tous deux fixes, par l'expression suivante, avec t2 > t1 :

$d_{LT}=(t_{2}-t_{1})c$

Si l'on s'intéresse à des structures dites $comobiles$, c'est à dire délimitées par des points de coordonnéees spatiales invariantes, leurs dimensions linéaires $l$ varient avec le facteur d'échelle (et donc leur décalage spectral) selon la relation :

$$l(z_{2})=\frac{(1+z_{1})}{(1+z_{2})} l(z_{1})$$

Cet exposé, comme ceux des versions précédentes s'appuie sur les cours de cosmologie de H. Reboul


1- $\Lambda$-CDM désigne un univers avec constante cosmologique $\Lambda$ et $matière~sombre ~froide$. Le dernier qualificatif (froide) n'intervient pas pour l'univers homogène et ce qui suit reste valable pour une $matière~sombre$ (masse cachée non baryonique) en partie $tiède$ (particules de ~1keV) ou $chaude$. L'appellation plus exacte serait donc modèle $\Lambda$-DM.

Énergie sombre

1) Équation d'état relativiste.

La matière, la radiation, n’interviennent dans le tenseur énergie-quantité de mouvement d’un fluide parfait qu’à travers leur «équation d’état» : p = p($\rho$). On peut ainsi, tout en restant dans le cadre des équations de Friedmann-Lemaître, prendre en compte différents «fluides» i, connus ou hypothétiques, caractérisés par une équation d’état du type $p_{i} = w_{i}\rho_{i}c^{2}$. Les masse volumique et pression totales d’un univers à n «fluides» sont alors : $$ \rho=\sum_{i=1}^{n} \rho_{i} ~~et~~ p=c^{2}\sum_{i=1}^{n}w_{i}\rho_{i}$$

Pour la «poussière» (matière non relativiste) p <<$\rho c^{2}$ et $w_{d} = w_{nr} ≈ 0$ Pour la radiation (lumière ou les particules ultra-relativistes) $w_{r} = 1/3$.

L’évolution du facteur d’échelle a et celle des autres paramètres cosmologiques peuvent être généralisées à un mélange de $n$ fluides $i$. En se restreignant, par exemple, à des fluides de $w_{i}$ constants on obtient pour l’évolution du taux d’expansion $H = \dot{a}/a$ : $$\left[\frac{H}{H_\circ}\right]^2 = \sum_{i=1}^n \Omega_{i0} a^{-3(1+w_i)} + (1-\sum_{i=1}^n\Omega_{i0})a^{-2} = \sum_{i=1}^n \Omega_{i0} (1+z)^{3(1+w_i)} + (1-\sum_{i=1}^n\Omega_{i0})(1+z)^2 $$ Cette expression de $[H(z)/H_0]^2$ ou $[H(x)/H_0]^2$, a été définie comme $E(x)$ pour le modèle $\Lambda$-CDM. On l'appelera $F(x)$ dans ce cas plus général. Elle intervient dans les expressions des calculs de la distance métrique $d_m$ elle-même déterminante dans celles des $ observables$ comme l'éclat ou le diamètre apparent. L’introduction des termes des autres fluides dans les expressions de la distance métrique $d_{m}$ ouvre la voie à des tests observationnels et à la contrainte des nouveaux paramètres, en inversant la relation {paramètres} $\longrightarrow$ {observables}, puisque ces dernières, comme l’éclat ou le diamètre apparent, dépendent de $d_{m}$.

2) De $\Lambda$ à l'énergie sombre.

La constante cosmologique $\Lambda$ est équivalente à (et peut être interprétée comme ) un fluide de «vide», invariant de Lorentz de $w_{\Lambda} = w_{v} = −1$ et de masse volumique $\rho_{DE} = \frac{\Lambda c^2}{8\Pi G}$. Cette substitution laisse en effet mathématiquement inchangées les équations d’Einstein (et par conséquent celles de Friedmann-Lemaître si l’on conserve le principe cosmologique).

Par ailleurs la constante cosmologique géométrique $\Lambda$ pose (de par sa constance) un problème d'ajustement initial très sévère et l'on peut chercher à la remplacer par un fluide physique. Cette nouvelle entité peut être décrite par une équation d'état de paramètre $w$ spatialement constant (principe cosmologique) mais différent de -1, voire variable avec le temps $t$ (c'est-à-dire avec $z$ et $a$), $\dots$ On a distingué parfois l'énergie sombre ($ w_{DE}(z) \neq -1$), de la <<quintessence>> ($ w_Q \neq \ \ cte$), de l'énergie fantôme ($w_{PE} < -1$) ... mais il est devenu habituel de généraliser l'appellation l'énergie sombre à l'ensemble des possibilités et d'utiliser la paramétrisation CPL à deux paramètres $w_0$ et $w_a$ (ou $w_1$) : $$w(z)= w_\circ + w_1 \frac{z}{1+z} \ \ \ {\rm} ou \ \ \ w(a) = w_0 + w_a (1-a) $$ Dans cette représentation $\Lambda$ apparaît comme le cas particulier d'une énergie sombre de paramètres $w_0 =-1$ et $w_1 = 0$

Les observations permettent de contraindre la zone de notre univers dans un plan ($w_0$, $w_1$) comme on le fait pour le champ des ($\Omega_{m0}, \Omega_{\Lambda 0}$). Début 2017, pour le centenaire de $\Lambda$ sa representation $w_0 =-1$ ; $w_1 = 0$ reste compatible à 1$\sigma$ avec les contraintes observationnelles.

3) Calculs

De même qu'avec $E(x)$ pour le modèle avec la constante $\Lambda$, des fonctions simplifient l'écriture des relations, $Y(x)$ et $F(x)$ : $$ Y(x):= e^{-3(1+w_0+w_1)log x -3 w_1(1-x)}~~(5)$$ $$ F(x):= \left[ \frac{H(x)}{H_{0}}\right]^{2} = x^{-2} \Omega_{k0} + x^{-3} \Omega_{m0} + x^{-4}\Omega_{r0} + Y(x)\Omega_{DE0} ~~(7)$$ De la sorte l'équation différentielle de $a(\tau) $ devient $$\frac{d^2a}{d\tau^2} = -\frac{\Omega_{r0}}{a^3} - \frac{1}{2} \frac{\Omega_{m0}}{a^2} + \Omega_{DE0} \left[a Y(a) +\frac{a^2}{2} \frac{dY}{da}\right]$$ et celle de la distance métrique: $${ {d_{m} = \frac{c}{H_0 \mid \Omega_{k 0} \mid^{\frac{1}{2}}} \ \ S_k \left \{ \mid \Omega_{k 0} \mid^{\frac{1}{2}} \int_0^{z_c} F^{- \frac{1}{2}}(x) dx \right \}}}$$ La suite des expressions servant dans les calculs de $E$, $d_L$, $d_A$, $\theta$, $d_{LT}$, $l$ ... est identique à celles du modèle avec $\Lambda$.

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