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Gravitation au voisinage d'un corps massif


I-Théorie générale

On souhaite étudier le mouvement d'une particule (massive ou photon) dans le champ de gravitation d'une masse placée à l'origine de coordonnées spatiales $r, θ,\varphi$. Le modèle est un espace-temps statique à symétrie sphérique de métrique : $$ds^2=−e^{\lambda(r)}dr^2−r^2(dθ^2+sin^2θdφ^2)+e^{ν(r)} c^2dt^2$$ En relativité générale, pour une masse $M$ sans rotation, à symétrie sphérique, placée à l'origine des coordonnées dans un espace-temps vide, la solution des équations d'Einstein est: $$λ+ν=0 ~~~~~~~~e^ν=1−\frac{2m}{r}~~~~~~~~ m=\frac{GM}{c^2}$$ d'où l'expression de la métrique de Schwarzschild: $$ ds^2= -\displaystyle\frac{dr^2}{ 1-\displaystyle\frac{2m}{r}} - r^2(d\theta^2 + sin^2 \theta d\varphi^2) +\left( 1-\frac{2m}{r} \right) c^2dt^2 $$

c la vitesse de la lumière ( c = 299792458 $m.s^{-1}$ ).
G la constante gravitationnelle (6,6742.10-11 $m^3 kg^{-1} s^{-2}$).
2m est appelé 'rayon de Schwarzschild' ou 'horizon du trou noir'. Il représente la zone sphérique qui délimite la région d'où lumière et matière ne peuvent s'échapper.

Rappel:
$ds$ est un invariant par changement de coordonnées et $\displaystyle\frac{ds}{c}$ représente le temps propre entre les deux événements $(r, θ, $φ$,t)$ et $(r+dr,θ+dθ,$φ$+$dφ$,t+dt)$.
Les trajectoires d'une particule libre sont les géodésiques de la métrique.
Par raison de symétrie la trajectoire est plane (on prendra $θ=\displaystyle\frac{\pi}{2}$) et ainsi deux des équations des géodésiques s'écrivent en fonction d'un paramètre a : $$\frac{d^2t}{da^2} + \frac{d\nu}{dr} \frac{dr}{da} \frac{dt}{da}=0 ~~~~ et ~~~~ \frac{d^2φ}{da^2} + 2r\frac{dr}{da} \frac{dφ}{da}=0$$ On déduit des deux équations précédentes les intégrales premières : $$\left(1−\frac{2m}{r} \right)\frac{dt}{da}=E ~~~~et~~~r^2 \frac{d\varphi}{da}=cL$$ $a=\displaystyle\frac{ds}{c}$= $d\tau$ temps propre pour une particule massive
$ds=0$ pour un photon

II-Particule massive

L'expression de $L$ avec l'équation de la composante tangentielle de la vitesse de la particule en fonction de son temps propre $\tau$ se détermine avec : $$v_\varphi(\tau)=r(\tau)\frac{d\varphi}{d\tau}$$ Avec les conditions initiales, on obtient : $$L=\frac {v_\varphi(τ_0)r(τ_0)}{c}$$
L'équation de la métrique peut ainsi s'écrire : $$\left(\frac{dr}{dτ}\right)^2+ V(r)=c^2E^2 ~~~~ où ~~~~V(r)= c^2\left(1−\frac{2m}{r}\right) \left(1+\frac{L^2}{r^2}\right) $$ La fonction $V$ est appelée potentiel effectif. L'expression de $E$ s'obtient avec l'équation de la composante radiale de la vitesse de la particule en fonction de son temps propre $\tau$ : $$v_r(τ)=\frac{dr}{dτ}$$ Avec les conditions initiales, on obtient : $$E=\sqrt{\frac{v_r(τ_0)^2}{c^2}+ \left(1−\frac{2m}{r(τ_0)}\right)\left(1+\frac{L^2}{r^2(τ_0)}\right)}$$ En dérivant par rapport à $\tau$ l'équation de la métrique et pour des trajectoires non circulaires, on déduit l'équation différentielle suivante utilisée pour faire la simulation : $$\frac{d^2r}{dτ^2}=−\frac{1}{2} \frac{dV}{dr} $$ Le temps s'écoule différement selon les valeurs de r. En se rapprochant de l'horizon, le voyageur, assimilé à une « particule d'épreuve », à l'impression que le temps s'écoule plus vite pour son confrère resté loin du trou noir que pour lui. A l'inverse, l'observateur resté loin du trou noir voit son collègue évoluer de plus en plus lentement et à la limite se figer lorsque celui-ci atteint l'horizon. Un voyageur qui tombe dans le trou noir arrive au centre (r=0) en un temps fini tandis que son collègue a l'impression qu'il reste figé sur l'horizon (et, dans la pratique, disparait à cause du décalage spectral).
Soient $dt$ un intervalle de temps pour l'observateur « à l'infini » et $dτ$ pour le voyageur. La formule de dilatation temporelle est donnée par : $$d\tau=\frac{1}{E} \left(1−\frac{2m}{r(τ)} \right)dt$$ A mesure que l'on s'approche d'un trou noir, les effets de marées deviennent de plus en plus importants. Autrement dit, l'objet va subir un étirement de plus en plus important.

III-Le photon
De l'expression de la métrique (où ds=0 ) et des intégrales premières des deux équations des géodésiques de paramètre a, on déduit : $$(1)~~~~\left(\frac{dr}{da} \right)^2+V(r)=c^2E^2 ~~~~où ~~~~V(r)=c^2\frac{L^2}{r^2} \left(1−\frac{2m}{r}\right)$$ En dérivant par rapport à $a$ cette équation on déduit l'équation différentielle suivante utilisée pour faire la simulation: $$(2) ~~~~\frac{d^2r}{da^2}=−\frac{1}{2} \frac{dV}{dr} $$ Dans la partie simulation il est demandé à l'utilisateur d'entrer une valeur initiale pour la valeur $v_\varphi(\tau_0)=r(\tau_0) \displaystyle\frac{d\varphi}{da}(\tau_0)$. Celle-ci permettra de calculer $L$ et $\displaystyle\frac{dr}{da}(\tau_0)$ par : $$L=\frac {v_\varphi(τ_0)r(τ_0)}{c}~~~~~~ et ~~~~ (\frac {dr}{da})^2(\tau_0)=c^2−v_\varphi^2(\tau_0)$$ $E$ peut ainsi être calculé dans $(1)$. La trajectoire du photon est tracée en appliquant la méthode de Runge-Kutta sur $(2)$.
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